Нахождение определителя матрицы. Способ № 1:
Определителем квадратной матрицы (det A) называется число, которое может быть
вычислено по элементам матрицы по формуле:
 ,
где М1k - определитель матрицы (детерминант), полученной из исходной матрицы вычеркиванием первой строки и k - oго столбца.
Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно
числу столбцов. Первая формула позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула
вычисления определителя матрицы по первому столбцу:
Вообще говоря, определитель матрицы может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы,
т.е. справедлива формула:
Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители. Определитель единичной матрицы равен 1.
Для указанной матрицы А число М1k называется дополнительным минором элемента матрицы a1k. Таким образом,
можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в
квадратных матрицах.
Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы aij
равен определителю матрицы, полученной из исходной матрицы вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.
Нахождение определителя матрицы. Способ № 2:
Определителем матрицы первого порядка, или определителем первого порядка, называется элемент а11:
Определителем матрицы второго порядка, или определителем второго порядка, называется число,
которое вычисляется по формуле:
Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число,
которое вычисляется по формуле:
Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое
входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения
трех сомножителей.
Знаки, с которыми члены определителя матрицы входят в формулу нахождения определителя матрицы
третьего порядка
можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется
правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три
слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а
последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из
правого рисунка.
Замечание:
Вычисление определителей матриц четвертого и более высокого порядка приводит к большим вычислениям, так как:
- для нахождения определителя матрицы первого порядка мы находим одно слагаемое, состоящее из одного сомножителя;
- для нахождения определителя матрицы второго порядка нужно вычислить алгебраическую сумму из двух слагаемых, где
каждое слагаемое состоит из произведения двух сомножителей;
- для нахождения определителя матрицы третьего порядка нужно вычислить алгебраическую сумму из шести слагаемых, где каждое
слагаемое состоит из произведения трех сомножителей;
- для нахождения определителя матрицы четвертого порядка нужно вычислить алгебраическую сумму из двадцати четырех
слагаемых, где каждое слагаемое состоит из произведения четырех сомножителей и т.д.
Определить количество слагаемых, для нахождения определителя матрицы, в алгебраической
сумме, можно вычислив факториал:
1! = 1
2! = 1 × 2 = 2
3! = 1 × 2 × 3 = 6
4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120 ...
| 
