Невырожденные матрицы

Пусть А - квадратная матрица n - ого порядка.

Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель матрицы (Δ = det A) не равен нулю (Δ = det A ≠ 0). В противном случае (Δ = 0) матрица А называется вырожденной.

Матрицей, союзной к матрице А, называется матрица

, где А_ij - алгебраическое дополнение элемента а_ij данной матрицы (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя матрицы).

Матрица А^-1 называется обратной матрице А, если выполняется условие:
А × А^-1 = А^-1 × А = Е
, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица А^-1 имеет те же размеры, что и матрица А.

Обратная матрица

Если существуют квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию:
X × A = A × X = E
, где Е - единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратной матрицей к матрице А и обозначается А^-1. Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу и притом только одну, т. е. для того чтобы квадратная матрица A имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.

Для получения обратной матрицы используют формулу:

, где М_ji дополнительный минор элемента а_ji матрицы А.

Cвойства обратных матриц:

1) (А^-1)^-1 = А;
2) (АВ)^-1 = В^-1А^-1;
3) (А^Т)^-1 = (А^-1)^Т;