Сложение матриц:

Вычитание и сложение матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Операция сложения матриц вводится только для матриц одинакового размера, т.е. для матриц, у которых число строк и столбцов соответственно равно. Суммой матриц А и В, называется матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов.
С = А + В
c_ij = a_ij + b_ij
Аналогично определяется разность матриц.

Пример:

Даны матрицы ; . Найти 2A + B.

;   

Умножение матрицы на число:

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число. Произведением матрицы А на число k называется матрица В, такая что b_ij = k × a_ij.
В = k × A
b_ij = k × a_ij.
Матрица   - А = (-1) × А   называется противоположной матрице А.

Свойства сложения матриц и умножения матрицы на число:

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:
1. А + В = В + А;
2. А + (В + С) = (А + В) + С;
3. А + 0 = А;
4. А - А = 0;
5. 1 × А = А;
6. α × (А + В) = αА + αВ;
7. (α + β) × А = αА + βА;
8. α × (βА) = (αβ) × А;
где А, В и С - матрицы, α и β - числа.

Умножение матриц (произведение матриц):

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы А_m×n на матрицу В_n×p, называется матрица С_m×p такая, что
с_ik = a_i1 × b_1k + a_i2 × b_2k + ... + a_in × b_nk,
т. е. находиться сумма произведений элементов i - ой строки матрицы А на соответствующие элементы j - ого столбца матрицы В. Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А × Е = Е × А = А, где А квадратная матрица, Е - единичная матрица того же размера.

Пример:

Найти произведение матриц и .

Пример:

Найти произведение матриц и .

Свойства умножения матриц:

Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ≠ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких - либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными. Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.
А × Е = Е × А = А

Умножение матриц обладает следующими свойствами:
1. А × (В × С) = (А × В) × С;
2. А × (В + С) = АВ + АС;
3. (А + В) × С = АС + ВС;
4. α × (АВ) = (αА) × В;
5. А × 0 = 0; 0 × А = 0;
6. (АВ)^Т = В^ТА^Т;
7. (АВС)^Т = С^ТВ^ТА^Т;
8. (А + В)^Т = А^Т + В^Т;

Пример:

Даны матрицы и число α=2. Найти A^TB+αC.

.